Punto y rectas
Los elementos fundamentales de la geometría son el punto, las rectas y los planos:
- Los puntos son la base ya que con ellos se pueden determinar las rectas y los planos.
- Recta o línea es una sucesión ininterrumpida de puntos.
¿Qué es un punto?
El punto es el elemento base de la geometría, ente fundamental, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión de dos líneas. Sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.
¿Qué es una recta?
Una recta es una sucesión ininterrumpida de puntos con una misma dirección, por lo tanto sólo tiene una dimensión. Dos puntos determinan una recta la recta es infinita, no posee ni principio ni fin.
La recta tienen una dimensión, la longitud.
Tipos de rectas
- Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza porque los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.
Ángulos
¿Qué es un Ángulo?
Un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el origen común.
Un ángulo está formado por:
- Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
- Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
- Amplitud: lo más importante del ángulo, es la abertura que hay entre los lados.
¿Cómo se miden los ángulos?
¿Qué es una Bisectriz de un Ángulo?
La Bisectriz de un ángulo es la semirrecta, que pasando por el vértice, divide el ángulo en otros dos ángulos iguales.
Clasificación de los ángulos
- Ángulo recto: su amplitud es de 90º
- Ángulo llano: su amplitud es de 180º
- Ángulo agudo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 90º
- Ángulo obtuso: su amplitud es mayor que 90º y menor que 180º
- Ángulo completo: su amplitud es de 360º
- Ángulo nulo: su amplitud es 0º
- Ángulo convexo: su amplitud es mayor que 0º y menor que 180º
- Ángulo cóncavo: su amplitud es mayor que 180º
- Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 90º
- Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es de 180º
- Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios a la vez.
- Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado común
Operaciones con ángulos
Los ángulos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir:
Suma de ángulos: para sumar ángulos se colocan sus medida en tres columnas, los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. En el resultado los minutos y los segundos tienen que se inferior a 60, si el resultado es mayor que 60 se convierten en unidades del orden inmediato superior. Por ejemplo 67´ se convertiría en 7´ y se sumaria 1 a los grados, 85´´ se convertiría en 25´´ y se sumaría 1 a los minutos que le preceden.
Resta de ángulos: para restar ángulos, las medidas se colocan igual que en la suma, si en el sustraendo el valor absoluto de los minutos y los segundos es mayor que en el minuendo, tendremos que quitar una unidad al orden superior del minuendo y se le añade al inferior
Producto de un ángulo por un número entero: se multiplican independientemente los grados, minutos y segundos por ese número empezando por la derecha
División de un ángulo por un número entero: se dividen primero los grados por ese numero, el resto se convierte en minutos que se suman a los minutos del dividendo, se divide por el ese numero y el resto se convierte en segundo que se suman a los segundos del dividendo.
Polígonos
¿Qué es un polígono?
Un polígono es toda porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada. Puede estar limitada por tres o más segmentos.
Los elementos de un polígono:
- Contorno del polígono: es la línea poligonal que lo limita.
- Lados del polígono: segmentos rectilíneos que forman el contorno.
- Vértices del polígono: puntos donde se unen dos lados consecutivos del polígono.
- Ángulos interiores del polígono: formados por cada dos lados consecutivos.
- Diagonal del polígono: segmento que une dos vértices que no son consecutivos.
El Perímetro del polígono:Cuando hablamos del perímetro del polígono, nos referimos a la suma de las longitudes de todos sus lados, es decir, la medida de su contorno.
Suma de los ángulos de un polígono:
La suma de los ángulos de un polígono es: (n - 2) · 180º . Donde "n" es el número de lados del polígono.
Número de diagonales de un polígono:
El número de diagonales de un polígono es igual a n · (n-3) : 2, siendo "n" el número de lados del polígono.
Clases de polígonos:
Los polígonos se pueden clasificar siguiendo diferentes criterios:
- Según el número de lados:
- Triángulo tiene 3 lados
- Cuadrilátero, tiene 4 lados
- Pentágono, tiene 5 lados
- y así sucesivamente, hexágono, heptágono, octógono, etc...
- Según sus ángulos:
- Polígono convexo en el que todos sus ángulos son convexos, es decir, menores que 180º
- Polígono cóncavo que tiene algún ángulo cóncavo, es decir, su ángulo mide más de 180º
- Según la igualdad de lados y ángulos:
- Polígono equilátero que tiene sus lados iguales.
- Polígono equiángulo en el que sus ángulos son iguales.
- Polígono regular que tiene sus lados y ángulos iguales.
Elementos comunes en un polígono regular:
- Centro del polígono: es el punto que equidista de los vértice.
- Radio del polígono: cualquier segmento que une el centro con algún vértice.
- Apotema del polígono: cualquier segmento que une el centro con el punto medio de cualquier lado.
¿Qué es un Polígono inscrito?Un Polígono inscrito es el polígono que tiene sus vértices en una circunferencia.
¿Qué es un Polígono circunscrito?
Un Polígono circunscrito es aquel en el que sus lados son tangentes en una circunferencia.
Clases de ángulos de un polígono regular
En un polígono regular encontramos:
- Ángulo central: el formado por dos radios consecutivos. El ángulo central es igual 360º
- Ángulo interior: es el formado por dos lados consecutivos, un ángulo interior es igual a 180º - ángulo central
- Ángulo exterior: formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo y es igual al ángulo central
Área de los polígonos
El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y su área es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono.
Circunferencia
¿Qué es una circunferencia?
La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Dimensión de la circunferencia: al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
- Circunferencias exteriores: Son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
- Circunferencias interiores
No tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
- Circunferencias tangentes exteriores: Tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
- Circunferencias tangentes interioresTienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
- Circunferencias secantesTienen dos puntos en común.
- Circunferencias concéntricasNo tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia: una recta puede estar respecto a una circunferencia:
- Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
- Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común.
- Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes.
Ángulos de la circunferencia:
- Ángulo centralEs el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
- Ángulo inscritoEs aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
- Ángulo semi-inscrito
Es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
- La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
- Ángulo interiorEs aquel que tiene su vértice en un punto interior del círculo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
- Ángulo exteriorEs aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
- La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.
Concepto de círculo
Un círculo es una superficie plana limitada por una línea curva (circunferencia).
A menudo se utiliza indistintamente círculo y circunferencia para nombrar la misma cosa, pero esto no es correcto. Circunferencia es una curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes (están a la misma distancia) del centro, y sólo posee longitud de la circunferencia, es decir, el perímetro del círculo.
Cabe destacar que aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse: la circunferencia es la línea curva y el círculo la superficie de la figura.
El círculo, al ser una figura plana (todos sus puntos estan contenidos en un solo plano) tiene dos dimensiones y por lo tanto tiene área.
La formula para calcular el área del cículo es:
Nota:
π = 3'14
r^2 = radio x radio
Elementos del círculo:
- Circunferencia: la circunferencia de un circulo es la línea curva que forma el límite de la figura.
- Radio: es el punto que uno el centro de la figura con la circunferencia.
- Diametro:línea recta que que uno el centro de la figura con dos puntos de la circunferencia.
- Tangente: recta que toca a la figura exactamente por un punto.
- Secante: recta que corta el perimetro del círculo en dos puntos.
- Cuerda: segmente que une dos puntos del círculo sin pasar por el centro de la figura.
- Arco: Parte del perímetro del círculo que queda comprendidado entre dos extremos de la cuerda.
- Punto interior: punto que pertenece al círculo, es decir, está dentro de él.
- Punto exterior: punto que se situa fuera del círculo.
- Ángulo central: es el ángulo formado por dos radios que van del centro a dos puntos del perímetro del círculo.
- Ángulo incrito: es el ángulo formado por dos cuerdas que coinciden en un mismo punto de la circunferencia. Es decir, ángulo que se genera con la unión de tres puntos de la misma.
Otros elementos importantes:
- Semicírculos: la porción de círculo limitada por un diámetro y su arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.
- Sector circular: es la porción de círculo limitada por dos radios y su arco correspondiente.
- Segmento circular: es la parte del círculo limitada por un cuerda y su arco.
- Zona circular: es la porción de círculo limitada por dos cuerdas.
- Corona circular: es la porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas.
- Trapecio circular: es la porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.
