Situación
introductora:
El puzzle En la figura
adjunta se presentan las piezas de un puzzle. Los números escritos junto a los
lados de los polígonos corresponde a las medidas de dichos lados expresadas en
centímetros. Construir en cartulina este puzzle, pero de mayor tamaño, de tal
manera que el lado de 4 cm tenga una longitud de 7 cm. Trabaja en colaboración
con otro compañero haciendo cada uno la mitad de las piezas.
Series
proporcionales:
En muchas situaciones
prácticas se establecen relaciones entre las cantidades de dos magnitudes, de
tal modo que las cantidades de una de ellas se obtienen multiplicando por un
mismo número las distintas cantidades de la otra. Por ejemplo, el precio pagado
por las distintas cantidades de un artículo – supongamos que barras de pan- se
obtiene multiplicando el número de barras que compramos por el precio unitario
de dicho artículo –30 céntimos de euro- , de manera que si compramos 3 barras
tendremos que pagar 30x3=90 (90 c)., si compramos 5 habrá que pagar 150 c.,
etc. En estas situaciones tenemos dos series de números, como se indica en la
tabla adjunta, que se dicen son proporcionales entre sí.
En general, decimos que
dos series de números, con el mismo número de elementos, son proporcionales
entre sí, si existe un número real fijo k, llamado razón de proporcionalidad,
que permite escribir cada valor de la segunda serie como producto por k de los
valores correspondiente de la primera serie.
Proporciones
Una proporción aparece
en general bajo la forma de una igualdad entre dos fracciones. En consecuencia,
el producto cruzado de los numeradores y denominadores serán iguales entre sí.
Cualquier cambio de disposición entre los cuatro números que forman una
proporción que no modifique los productos cruzados de los numeradores y
denominadores entre sí dará lugar a una nueva igualdad de fracciones. Una
proporción permite escribir cuatro igualdades equivalentes entre dos fracciones
(que suelen ser interpretadas en este caso como razones), como se resume en el
cuadro adjunto:
En la práctica una de
las fracciones tendrá el numerador o el denominador desconocido y se plantea el
problema de encontrar su valor usando la relación de proporcionalidad que se
establece.
En algunos casos,
usamos frases como “la proporción de chicas en una clase es 3/5”. En estos
casos la segunda fracción aparece implícita, y consiste en Nc/N siendo Nc el
número de chicas en la clase y N el número total de alumnos de los dos sexos.
En este sentido se usa habitualmente el término proporción en estadística, en
que, con frecuencia estamos interesados en estimar la proporción de elementos
con una cierta característica dentro de una población.
PORCENTAJES
La notación de
porcentajes y el razonamiento de proporcionalidad que se pone en juego cuando
uno de los términos que intervienen en las proporciones toma el valor 100 se
utiliza en una amplia variedad de situaciones de la vida diaria. La expresión
“x%” es una manera alternativa de expresar la fracción x/100, pero el concepto
de porcentaje proviene de la necesidad de comparar dos números entre sí, no
sólo de manera absoluta (cuál de los dos es mayor), sino de una manera
relativa, es decir, se desea saber qué fracción o proporción de uno representa
respecto del otro. En estas situaciones se suele utilizar el número 100, que es
bien familiar, como referencia. Al situarlo como denominador de una fracción,
su numerador nos indica qué porción de 100 representa. El siguiente ejemplo
muestra el interés de hacer estas comparaciones relativas y de adoptar 100 como
base de comparación.
Ejemplo:
En una elección en la
que se emitieron 5.781.200 de votos un candidato obtuvo 2.948.412 votos; en la
siguiente elección se emitieron 6. 456.900 votos y dicho candidato obtuvo
3.099.312 votos. ¿Han mejorado los resultados de este candidato entre una y
otra votación?
En la primera votación
la fracción de votos obtenidos ha sido:
2.948.412/5.781.200 =
51/100; mientras que en la segunda
3.099.312/6.456.900 =
48/100.
El uso de los
porcentajes permite conocer el número de votantes que recibió el candidato por cada
100 votantes, y comprobar de manera inmediata que el candidato ha perdido
posición entre el electorado.
Sin embargo, la noción
de porcentaje no sólo se utiliza para establecer comparaciones en valor
relativo entre dos números. Una vez que se fija un porcentaje se puede aplicar
a distintos números, obteniendo de este modo series de números Proporcionalidad
427 proporcionales. Si se aplica el 30% de descuento a los precios de tres
artículos A, B, C, cuyo valor es de 153, 452, 532 euros, respectivamente, entre
los precios dados y los descuentos, se establece una correspondencia de
proporcionalidad directa, cuya razón de proporcionalidad es 30/100:
30
|
A’
|
B’
|
C’
|
100
|
150
|
450
|
540
|
A’ = 0’30 x 150 = 45;
B’ = 0’30 x 450 = 135; C’ = 0’30 x 540= 162
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